Anwendungen

$\xi >> R_S$

$\rho({\vec r}) \rightarrow dm = \rho({\vec r}) dV$

$\left( \xi_1(\lambda), \xi_2(\lambda), r_3(\lambda) \right )$

$a = \mbox{\bf\em r}$

$$\hat{\vec{\alpha}}(\xi) = \frac{4G}{c^2}\int d^2\vec\xi' \in... ...rac{\vec\xi-\vec\xi'}{\left\vert\vec\xi-\vec\xi'\right\vert^2}$$

Mit der Oberflächendichte

$$\Sigma(\vec\xi) = \int d r_3 \rho(\xi_1, \xi_2, r_3)$$

erhält man

$$\hat{\vec{\alpha}}(\xi) = \frac{4G}{c^2}\int d^2\vec\xi' \Si... ...rac{\vec\xi-\vec\xi'}{\left\vert\vec\xi-\vec\xi'\right\vert^2}$$

Aus der Zeichnung entnimmt man:

$$\vec\eta = \frac{D_s}{D_d}\vec\xi - D_{ds} \hat{\vec\alpha}(\vec\xi)$$

Mit $\vec\eta=D_s \vec\beta$ und $\vec\xi=D_d\vec\Theta$ erhält man die skalierte Gleichung:

$$\vec\beta=\vec\Theta-\frac{D_{ds}}{D_s} \hat{\vec\alpha}(D_d\vec\Theta) = \vec\Theta - \vec\alpha(\vec\Theta)$$

Für eine ausgedehnte Massenverteilung
integriert man über die Dichte:

$$\vec\alpha(\Theta) = \frac 1\pi \int_{R^2} d^2 \Theta' \kappa... ...c{\vec\Theta-\vec\Theta'}{\vert \vec\Theta-\vec\Theta' \vert^2}$$

wobei $\kappa$ eine dimensionslose Massendichte ist:

$$\kappa(\vec\Theta) = \frac{\Sigma(D_d \vec\Theta)}{\Sigma_{cr... ...{mit}\quad \Sigma_{cr}=\frac{c^2}{4\pi G}\frac{D_s}{D_d D_{ds}}$$

Für Masseverteilungen mit $\Sigma>\Sigma_{cr}$ kann es mehrere Bilder geben.

Mit Hilfe des Einsteinwinkels

$$\Theta_E^2 = \frac{4 G M}{c^2} \frac{D_{ds}}{D_d D_s}$$

vereinfacht sich die Linsengleichung:

$$\vec\beta = \vec\Theta - \Theta_E \frac{\vec\Theta}{\vert\vec\Theta\vert^2}$$

$\Theta_E$ ist die charakteristische Skala des Lensing,

Zwei Beispiele:
galaktisches Microlensing:

$$\Theta_E \approx 0.5 \sqrt{\frac{M}{M_\odot}} mas$$

Quasare: $z_{QSO}=2, z_G=0.5: \quad$

$$\Theta_E \approx 1.8 \sqrt{\frac{M}{10^{12}M_\odot}} arcsec$$

Substituiere $y=\beta/\Theta_E$ (wirklicher Winkel)
und $x=\Theta/\Theta_E$ (scheinbarer Winkel),
dann lautet die Linsengleichung:

$$y = x - 1/x$$

mit den Lösungen

$$x_\pm = \frac 12 \left( y\pm \sqrt{y^2+4}\right)$$

Licht wird auf seinem Weg weder absorbiert noch emittiert. Zusammen mit Liovilles Theorem erhält man somit

$$I(\vec\Theta) = I^{(s)}([\vec\beta(\vec\Theta)]$$

$\rightarrow$ Lensing erhält die Oberflächenhelligkeit

Wenn die Quelle viel kleiner ist als die Skala über der sich die Linse verändert, kann man die Lichtablenkung linearisieren: Die Verzerrungsmatrix ist dann die Jacobi-Matrix:

$$\begin{eqnarray*} A(\vec\Theta) &=& \frac{\partial\vec\beta}{\partial\vec\Theta... ... & -\gamma_2 \\ -\gamma_2 & 1-\kappa+\gamma_1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

Die Scherung wird durch die Komponenten
von $\gamma=\gamma_1 + i \gamma_2$ ,

$$\begin{eqnarray*}\gamma_1 &=& \frac 12 \left( \psi_{,11} - \psi_{,22}\right) \\ \gamma_2 &=& \psi_{,12} \end{eqnarray*}$$

beschrieben, wobei für $\psi$ gilt: $\vec\alpha= \nabla \psi$.